Le diagramme de PERT ne sert pas uniquement à visualiser des dépendances. Il permet de calculer la durée minimale d'un projet, les dates limites de chaque tâche, les marges réellement disponibles et le chemin critique qui conditionne la date de fin. Ces calculs reposent sur deux mouvements complémentaires : un calcul en avant (au plus tôt) et un calcul en arrière (au plus tard). Comprendre cette mécanique permet de piloter un planning avec lucidité, et non avec intuition.
Avant de commencer : ce que vous devez déjà avoir
Le calcul d'un PERT ne commence pas par des formules. Il commence par un réseau déjà construit.
Vous devez disposer d'un diagramme de dépendances clair. Consultez l'article Comment construire un diagramme de PERT si ce n'est pas encore le cas.
Vous devez disposer :
- d'un diagramme de dépendances clair,
- de tâches correctement identifiées,
- d'une estimation de durée pour chacune d'elles.
Sans cette base, les calculs seront mathématiquement corrects… mais conceptuellement faux.
La formule PERT : obtenir une durée à partir de trois estimations
La dernière condition est la plus fragile. Sur une tâche incertaine, personne ne sait donner une durée à un jour près, et le chiffre unique qu'on finit par écrire cache le désaccord plutôt qu'il ne le résout.
La technique PERT remplace cette estimation unique par trois.
- O, optimiste : tout se passe bien, rien n'attend personne.
- M, probable : le cas réaliste, celui sur lequel on parierait.
- P, pessimiste : les choses se passent mal, sans catastrophe.
La durée retenue est leur moyenne pondérée :
tE = (O + 4M + P) / 6
Pourquoi quatre, et pourquoi six
Le cas probable pèse quatre fois plus que chaque extrême. Le diviseur vaut six parce que les poids totalisent six : un pour O, quatre pour M, un pour P.
Le résultat n'est donc pas la moyenne des trois nombres. Il penche vers le cas réaliste tout en laissant la queue pessimiste le tirer vers le haut. C'est précisément ce que l'estimation à un seul chiffre rate.
Une tâche estimée à 4 jours au mieux, 6 au plus probable et 14 au pire donne (4 + 24 + 14) / 6 = 7 jours. Pas 6, qui est ce que la plupart des gens auraient écrit dans le planning. Pas 8 non plus, qui serait la moyenne simple.
L'écart-type, qu'on oublie presque toujours
Les mêmes trois nombres disent aussi quelle confiance accorder au résultat :
σ = (P − O) / 6
Sur l'exemple, σ = (14 − 4) / 6 ≈ 1,7 jour. Un écart large ne signale pas une tâche plus longue. Il signale une tâche que l'on connaît mal, ce qui appelle une clarification, pas une rallonge.
Gardez ces valeurs de côté. Une fois le chemin critique identifié, la racine de la somme de leurs carrés donne l'incertitude de la date de fin du projet.
Étape 1 : calculer les dates au plus tôt (ordonnancement en avant)
L'ordonnancement au plus tôt permet de déterminer la durée minimale du projet.
Le principe est simple : on part du début du réseau et on avance de gauche à droite.
Définir les deux premières dates : DH et FH
Pour chaque tâche, on calcule :
- DH (Début Hâtif) : date à laquelle la tâche peut commencer au plus tôt
- FH (Fin Hâtive) : date à laquelle la tâche peut se terminer au plus tôt
La formule est directe :
FH = DH + durée
La première tâche commence toujours à zéro.
Que faire en cas de convergence ?
Lorsqu'une tâche dépend de plusieurs tâches précédentes, son DH correspond à la FH la plus élevée de ses prédécesseurs.
Elle ne peut commencer que lorsque tous ses prérequis sont terminés.
On retient toujours la contrainte la plus forte.
Étape 2 : déterminer la durée minimale du projet
Une fois le calcul en avant terminé, la FH de la dernière tâche correspond à la durée minimale du projet.
C'est une donnée fondamentale.
Elle indique la durée incompressible du projet, compte tenu des dépendances et des durées estimées.
Étape 3 : calculer les dates au plus tard (ordonnancement en arrière)
Maintenant que la durée minimale est connue, on effectue le chemin inverse.
On part de la fin du projet et on remonte le réseau, de droite à gauche.
Définir les dates DT et FT
Pour chaque tâche, on calcule :
- FT (Fin Tardive) : date limite à laquelle la tâche doit être terminée
- DT (Début Tardif) : date limite à laquelle la tâche doit commencer
La formule devient :
DT = FT – durée
Que faire en cas de divergence ?
Si une tâche débloque plusieurs tâches suivantes, sa FT correspond à la DT la plus faible parmi ses successeurs.
On retient toujours la contrainte la plus restrictive.
Étape 4 : calculer les marges
Vous disposez maintenant de quatre dates pour chaque tâche :
- DH
- FH
- DT
- FT
La marge totale se calcule très simplement :
Marge = DT – DH
ou
Marge = FT – FH
Le résultat est identique.
Comment interpréter la marge ?
- Marge positive : la tâche peut prendre du retard sans impacter la fin du projet.
- Marge nulle : aucun retard possible.
- Marge négative : le planning est irréaliste.
La marge est votre flexibilité réelle.
Mais attention : consommer une marge réduit la capacité d'absorption du projet.
Étape 5 : identifier le chemin critique
Ce double parcours porte un nom stable depuis les années 1950, la méthode du chemin critique, documentée dans les référentiels du PMI.
Le chemin critique correspond à la séquence de tâches dont la marge est égale à zéro.
Autrement dit, ce sont les tâches qui déterminent directement la durée totale du projet. Elles forment une chaîne continue à travers le réseau : si l'une d'elles prend du retard, la date de fin du projet est immédiatement impactée.
Le chemin critique ne résulte pas d'une intuition ou d'un jugement subjectif. Il découle mécaniquement des calculs effectués lors de l'ordonnancement au plus tôt et au plus tard.
C'est lui qui concentre l'attention du chef de projet. Non pas parce qu'il est plus important en valeur, mais parce qu'il est plus contraint dans le temps.
Un exemple complet, de bout en bout
Quatre tâches. A doit être terminée avant que B et C ne commencent. B et C doivent l'être toutes les deux avant D. La tâche D est celle de l'exemple précédent.
| Tâche | O | M | P | tE = (O + 4M + P) / 6 | σ | σ² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 3 | 10 | (2 + 12 + 10) / 6 = 4 | 1,33 | 1,78 |
| B | 3 | 5 | 13 | (3 + 20 + 13) / 6 = 6 | 1,67 | 2,78 |
| C | 1 | 2 | 9 | (1 + 8 + 9) / 6 = 3 | 1,33 | 1,78 |
| D | 4 | 6 | 14 | (4 + 24 + 14) / 6 = 7 | 1,67 | 2,78 |
Le calcul en avant donne : A occupe les jours 0 à 4. B enchaîne de 4 à 10, C de 4 à 7. D attend la plus tardive des deux, elle démarre donc à 10 et se termine à 17.
La durée minimale du projet est de 17 jours. Le calcul en arrière part de cette date et remonte le réseau.
| Tâche | DH | FH | DT | FT | Marge |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 4 | 0 | 4 | 0 |
| B | 4 | 10 | 4 | 10 | 0 |
| C | 4 | 7 | 7 | 10 | 3 |
| D | 10 | 17 | 10 | 17 | 0 |
Le chemin critique est donc A puis B puis D, soit 4 + 6 + 7 = 17 jours. C dispose de trois jours de marge et n'en fait pas partie.
Quelle confiance accorder à ces 17 jours ?
C'est la question pour laquelle la technique PERT a été conçue, et celle qu'on abandonne presque toujours en chemin. Les écarts-types mis de côté plus haut servent ici.
On additionne les variances des tâches du chemin critique, puis on prend la racine carrée :
σprojet = √(σ²A + σ²B + σ²D) = √(1,78 + 2,78 + 2,78) = √7,33 ≈ 2,7 jours
Les variances s'additionnent, pas les écarts-types. C'est pour cette raison qu'on somme les carrés avant de prendre la racine.
En traitant le total comme une loi normale, ce que le théorème central limite rend acceptable dès que plusieurs tâches interviennent :
- environ 68 % de chances de finir entre 14 et 20 jours, soit 17 ± 2,7 ;
- environ 95 % de chances de finir entre 12 et 22 jours, soit 17 ± 1,96 × 2,7.
Ces deux lignes changent une conversation. « Dix-sept jours » appelle un oui ou un non. « Dix-sept jours, et je ne m'engage pas en dessous de quatorze sans réduire le périmètre » appelle une décision.
Une réserve : l'intervalle ne porte que sur le chemin critique. Une chaîne presque critique dont les estimations sont très dispersées peut le dépasser, et l'incertitude réelle est alors plus large que ce que le calcul annonce.
Étape 6 : ne pas confondre compréhension des calculs et automatisation
Les calculs du PERT peuvent être réalisés à la main. C'est même un excellent exercice pour comprendre la logique interne d'un planning.
Mais sur un projet réel comportant de nombreuses tâches et dépendances, le risque d'erreur devient significatif. Les mises à jour successives rendent le calcul manuel rapidement lourd et fragile.
L'enjeu n'est pas de maîtriser des formules par cœur. L'enjeu est de comprendre ce qu'elles révèlent : pourquoi une tâche devient critique, pourquoi une autre dispose de marge, pourquoi certaines dates deviennent des contraintes fortes.
Un outil peut automatiser les calculs. Il ne remplace pas la compréhension de la structure temporelle du projet.
Synthèse
Calculer un diagramme de PERT revient à parcourir le réseau dans deux directions complémentaires.
D'abord en avant, pour déterminer la durée minimale du projet et les dates au plus tôt. Puis en arrière, pour fixer les dates au plus tard et mesurer la flexibilité réelle.
La comparaison de ces deux ordonnancements révèle les marges et fait apparaître le chemin critique.
C'est à ce moment que le diagramme cesse d'être un simple schéma de dépendances. Il devient un outil de pilotage.
Un PERT non calculé montre une logique. Un PERT calculé révèle les contraintes réelles.
C'est précisément ce que permet le logiciel PERT Orchesia : calculer automatiquement les marges et le chemin critique depuis la structure réelle du projet.
